Una tipología de ejercicios para el
tratamiento de la comprensión de problemas aritméticos verbales
A
typology of exercises for the treatment of the understanding of arithmetic word
problems
*Karel Pérez-Ariza
*Universidad de
Camagüey. Cuba.
Licenciado en Educación Primaria y en Pedagogía-Psicología. Doctor en Ciencias
Pedagógicas. Profesor Auxiliar. karelperez86@yahoo.com ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7650-7022
|
Resumen El
artículo socializa resultados de una tesis doctoral. Durante el proceso
investigativo se identificó el limitado desarrollo de escolares primarios
para la comprensión de problemas aritméticos verbales. El análisis de la literatura
especializada reveló la carencia de una tipología de ejercicios sustentada en
los niveles de desempeño cognitivo, relativos a ese proceso y de una
taxonomía de preguntas basada en la estructura externa de ellas.
Consecuentemente, el artículo persiguió como objetivo ofrecer una tipología
de ejercicios para el tratamiento de la comprensión de problemas aritméticos
verbales. La aplicación de un pre-experimento permitió constatar la validez
de la propuesta. Palabras clave: problema aritmético verbal; comprensión de problemas
aritméticos verbales; ejercicios; Didáctica de la Matemática |
Abstract The article socializes results of a doctoral
thesis. During the research process, the limited development of primary
schoolchildren for understanding word problems was identified. The analysis
of the specialized literature revealed the lack of a typology of exercises
based on the levels of cognitive performance, related to that process, and a taxonomy of questions based on the external structure of
them. Consequently, the article pursued the objective of offering a typology
of exercises for the treatment of word problems understanding. The
application of a pre-experiment made it possible to verify the validity of
the proposal. Key words: Word Problems; Word Problems
Understanding; Exercises; Mathematics Education |
Introducción
La comprensión de
problemas matemáticos (Almeida & Almeida, 2017; Falcón, Medina y Plaza,
2018) y en particular, los aritméticos (Ayllón, 2012;
Pérez, 2018) constituye una de las líneas investigativas más recurrentes,
durante los últimos años, en la literatura especializada. Diversos estudios de
evaluación de la calidad (PISA, 2009; Torres, 2010; Flotts
et al, 2016) e investigaciones (Silva, 2016; Pérez & Hernández, 2017;
Carmen, 2019) revelan que la insuficiente comprensión es la principal causa de
los bajos resultados de los escolares en la comprensión de problemas
aritméticos verbales.
A criterio de Pérez
(2018), en la producción científica existente, puede apreciarse el predominio
de la asunción de la comprensión como fase previa en la solución de problemas
aritméticos verbales, enfoque fuertemente influido por el clásico modelo de Polya (1976). Ello, a juicio del autor del artículo, ha
limitado el entendimiento del alcance que posee la comprensión en el referido
proceso y por ende, el enriquecimiento del aparto instrumental de la Didáctica
de la Matemática para el tratamiento eficiente de la comprensión en la solución
de problemas aritméticos verbales.
Es propósito del
artículo centrarse en los ejercicios, por constituir una categoría de gran
arraigo en la Didáctica de la Matemática y un medio esencial para favorecer el
proceso de enseñanza-aprendizaje de los contenidos matemáticos.
Consecuentemente, se persigue el objetivo de ofrecer una tipología de
ejercicios para el tratamiento de la comprensión de problemas aritméticos. La
misma se sustenta en las posturas de Pérez (2018) sobre el carácter transversal
de la comprensión en la solución de problemas aritméticos verbales y los
niveles de desempeño cognitivo de la referida actividad por momentos del
desarrollo del escolar primario; así como la tipología de preguntas para su
tratamiento, propuesta por Pérez & Hernández (2017).
Materiales y métodos
El proceso
investigativo requirió del empleo de los métodos analítico-sintético e
inductivo-deductivo para develar las limitaciones de la teoría existente, en
torno a los ejercicios para el tratamiento de la comprensión de problemas
aritméticos verbales. La modelación desde el enfoque sistémico estructural
funcional permitió la elaboración de la tipología de ejercicios que se ofrece.
Resultados y discusión
La comprensión de
problemas aritméticos verbales
El estudio de la
literatura científica (Puig & Cerdán, 1988; Tomás, 1990; Capote, 2010; Ayllón, 2012) permitió identificar diversas
caracterizaciones del concepto de problema aritmético. La subordinación del
referido concepto, al de problema, justifica que el autor del artículo asuma el
criterio de Campistrous & Rizo (1996: IX), cuando
plantean que un problema es: “[…] toda situación en la que hay un planteamiento
inicial y una exigencia que obliga a transformarlo.” También, añaden dos
condiciones: la vía para resolverlo es desconocida por el sujeto y este último
desea hallarla (Campistrous & Rizo, 1996).
La anterior
definición posee un considerable valor didáctico, ya que reconoce el papel de
la motivación y el carácter individual de los problemas. Con el propósito de
reducir la extensión del referido concepto – dado el interés del artículo – su
autor se adscribe al criterio de clasificación que tiene en cuenta la rama de
la Matemática con la que se relacionan, directamente, los conocimientos
empleados para resolverlo; del cual surge la distinción entre problema: aritmético, geométrico, estadístico, algebraico, entre
otros (Capote, 2010).
A su vez se comparte
la clasificación de los problemas aritméticos, atendiendo al código empleado en
su formulación, la que los divide en: verbales y no verbales (Cummis et al, 1988; Capote, 2010). Consecuentemente, al
emplearse –en el presente artículo– el referido término, se estará haciendo
alusión a aquellos problemas que, además de cumplir con las exigencias
planteadas por Campistrous & Rizo (1996), son
formulados verbalmente en el plano escrito y para resolverlos se requiere del
empleo de – al menos – una operación de cálculo aritmético.
En la literatura
científica se registran diversos modelos teóricos en los que se explica la
comprensión como una fase previa de la solución de problemas aritméticos (Puig
& Cerdán, 1988; Hernández & Socas, 1994; Blanco & Caballero, 2015).
Ello determina la existencia de la tendencia o enfoque más difundido en torno a
la concepción del lugar que ocupa la primera en el segundo, la que se sustenta
básicamente en el clásico modelo aportado por Polya
(1976).
La segunda tendencia
o enfoque concibe la solución de problemas aritméticos como un proceso de
comprensión textual (Pérez & Hernández, 2015). Aunque ha sido menos
difundida que la primera, ha ido ganando adeptos en la comunidad científica
cubana y extranjera; siendo muestra de ello la publicación, en los últimos
años, de varios resultados científicos (Pérez & Hernández, 2015 y 2017;
Pérez, 2017; Pérez, Coaguila & Hernández, 2019)
en revistas científicas de reconocido prestigio. Posee su principal sustento
teórico en las aportaciones de la Lingüística Textual, la Semiótica de la
Cultura y la Hermenéutica de corte filológico.
La asunción de la
segunda tendencia o enfoque, por el autor del artículo, aboca la necesidad de
precisar que cuando se hace referencia – en el presente artículo – al término:
comprensión de problemas aritméticos verbales, se alude a la “(…) actividad
dirigida a revelar las relaciones matemáticas que permiten satisfacer la
exigencia del problema y aquellas otras que permiten hacer una valoración
integral del enunciado del problema.” (Pérez & Hernández, 2015:21). Al
decir de Pérez (2018), el referido proceso posee dos grandes ejes de
significación: el lógico-matemático y el sociorreferencial,
postura que se asume en el presente artículo.
El psicólogo
soviético Leontiev (1987) afirmó que: “La actividad
humana no existe de otro modo que en forma de acción o cadenas de acciones” (p.
21). De allí que la comprensión de problemas aritméticos verbales se realice
gracias a determinadas acciones, las que al decir de Pérez y Hernández (2015),
una vez sistematizadas, dan lugar al surgimiento de la habilidad: comprender
problemas aritméticos, la cual es de carácter específico e implica las
siguientes acciones:
Ø Identificar
información: va dirigida al reconocimiento de los datos y exigencia del
problema, así como a la captación de cualquier otra información que constituya
un referente del texto.
Ø Inferir información:
permite el establecimiento de relaciones de parcialidad, causalidad, contraste
y analogía para deducir los significados prácticos que se ponen de manifiesto
de las operaciones de cálculo y elaborar significados, a partir de los
referentes textuales.
Ø Valorar: posibilita
la elaboración de juicios valorativos sobre la estructura o contenido del
problema matemático.
Ø Contextualizar:
favorece recontextualizar los significados elaborados
a nuevas situaciones dentro o fuera de la Matemática (Pérez & Hernández,
2015).
La búsqueda de
relaciones y el proceso de avance y retroceso que caracterizan a la comprensión
de problemas aritméticos verbales, hacen de ella un proceso dialéctico, en el
cual se presenta como contradicción fundamental la distancia entre el texto y
el lector; es decir, el proceso de superación de distancias. La superación de
esas distancias se manifiesta a través del tránsito gradual de los escolares
por los diferentes niveles de desempeño cognitivo.
La categoría niveles
de desempeño cognitivo ha sido definida por varios especialistas (Valdés, 2004;
Proenza & Leyva, 2006; Rojas & Camejo, 2009).
No obstante, no siempre ellos logran establecer las diferencias entre su
contenido y el de la categoría niveles de asimilación; siendo incluso empleadas
– en ocasiones – indistintamente. En el artículo, se entiende por nivel de
desempeño cognitivo a: “[…] aquellas funciones categorizadoras
que expresan los grados de desarrollo cognoscitivo alcanzados por los
estudiantes en el proceso de aprendizaje (Rubio, Hernández, Loret
de Mola & Roca, 2006, p. 3).
En esa definición se
revela que la anterior categoría constituye una expresión de las cualidades
esenciales del proceso de cognición en el aprendizaje escolar, reconociéndose
como elemento dinamizador de todo el proceso de enseñanza-aprendizaje. De ese
modo se destaca que los niveles de desempeño tienen un carácter sistémico que
rebasa los marcos de un solo componente, pues desde lo evaluativo alcanzan un
análisis valorativo de la calidad del proceso en su integridad.
Todos los autores
referidos con anterioridad reconocen que al aludirse a los niveles de desempeño
cognitivo, se hace referencia al cumplimiento de lo que debe hacer un
estudiante en un área del saber, de acuerdo con las exigencias establecidas
para ello, en correspondencia con: la edad y el grado escolar alcanzado. De
modo que los niveles de desempeño cognitivo incluyen dos aspectos íntimamente
relacionados que son:
·
El grado de complejidad con que se quiere medir ese desempeño
cognitivo.
·
La magnitud de los logros del aprendizaje alcanzados en una
asignatura determinada (Valdés, 2004).
Según estas
consideraciones, se reconoce entonces que la función categorizadora
de los niveles de desempeño, permiten delimitar diferentes jerarquías y más que
etiquetar, posibilitan correlacionar los diferentes niveles para activar un
proceso cognoscitivo diferenciador, flexible y diverso.
Se asumen los
niveles de desempeño propuestos por Pérez (2018), por basarse en la
caracterización del desarrollo psíquico de los escolares primarios cubanos, las
características de la textualidad de los problemas
aritméticos y las particularidades de los niveles de desempeño cognitivo en la
comprensión de textos. Ello les otorga un mayor grado de precisión y
objetividad que los establecidos para la comprensión textual, en general
(cualquier tipo de texto); además de singularidad a la educación primaria.
A criterio de Pérez
(2018), el primer nivel (reproductivo) consiste en la capacidad del escolar
para captar la información local y algunos elementos implícitos en el problema;
mientras que el segundo nivel (aplicativo) reside en la posibilidad de
comprender a un nivel más global el contenido textual del problema. Por su
parte, el tercer nivel (creativo) expresa el máximo grado de desarrollo
alcanzado por un escolar, el cual se caracteriza por su capacidad para
extrapolar mensajes a distintos contextos. A tono con lo expuesto, el propio
autor, precisa las operaciones cognitivas, pertenecientes a cada uno de los
niveles de desempeño cognitivo concebidos, en correspondencia con los momentos
del desarrollo ontogenético del escolar primario.
Primer momento del
desarrollo: de 6 a 7 años de edad (1ro. y 2do. grados)
Primer nivel
(reproductivo): reconocer lugares, personajes, acciones u otras informaciones
de carácter local; sustituir una palabra por un sinónimo; identificar palabras
claves; buscar los datos de un problema, dados explícitamente; seleccionar los
datos de un problema sin datos innecesarios; captar lo dado y la(s)
exigencia(s) en problemas dados.
Segundo nivel
(aplicativo): reformular expresiones; relacionar un problema con ilustraciones
a partir de elementos específicos; parafrasear la situación descrita en el
problema; seleccionar los datos necesarios en problemas simples; establecer
relaciones temporales; resumir información mediante el uso de hiperónimos;
inferir el objetivo y las consecuencias de las acciones; deducir
características; valorar actitudes.
Tercer nivel
(creativo): generalizar las relaciones entre un problema y su ilustración;
modelar gráficamente problemas dados; elaborar significados a partir de
inferencias de parte-todo; coordinar igualdades a problemas dados; solucionar
problemas simples mediante representaciones gráficas o conteo; relacionar
problemas por la temática que abordan y/o significados prácticos de las
operaciones de cálculo aritmético que se ponen de manifiesto; formular
problemas simples a partir de igualdades, ilustraciones y esquemas gráficos.
Segundo momento del
desarrollo: de 8 a 10 años (3ro. y 4to. grados)
Primer nivel
(reproductivo): ordenar cronológicamente; reformular expresiones; traducir
expresiones sencillas de un código a otro; identificar el contenido aritmético
con que se relaciona directamente el problema y otras informaciones de carácter
global; buscar los datos de un problema, dados implícitamente.
Segundo nivel
(aplicativo): seleccionar datos necesarios en problemas compuestos; establecer
relaciones complejas (parcialidad, causalidad, analogía y oposición); elaborar
preguntas para problemas simples; sustituir información, por otra lógicamente
derivada del texto.
Tercer nivel
(creativo): elaborar significados a partir de cadenas de inferencias sencillas
por relaciones de parcialidad, causalidad y/o analogía; reformular problemas
simples; formular problemas compuestos; solucionar el problema por diferentes
vías; contextualizar los significados del texto al marco experiencial del
escolar.
Tercer momento del desarrollo: de 11 a 12 años (5to. y
6to. grados)
Primer nivel
(reproductivo): parafrasear el problema, omitir información innecesaria;
traducir expresiones de un código a otro; identificar el contexto matemático y
situacional con que se relaciona la situación descrita en un problema.
Segundo nivel
(aplicativo): inferir significados a partir de relaciones complejas;
identificar subproblemas; representar gráficamente la
situación descrita; elaborar esquemas gráficos que representen las relaciones
que se dan en el texto; valorar las actitudes de los personajes que intervienen
en una situación descrita.
Tercer nivel
(creativo): elaborar significados a partir de cadenas complejas de inferencias
por relaciones de parcialidad, causalidad y/o analogía; formular problemas
compuestos; transformar las condiciones del problema para hallar otras vías de
solución y/o comprobar la vía empleada; transferir un significado extraído del
problema a la solución de un nuevo problema, ejercicio matemático o tarea de
otra asignatura, a un suceso de su vida personal y/o a algún fenómeno de la
vida cotidiana.
Los ejercicios en el
tratamiento de la comprensión de problemas aritméticos verbales
El concepto de
ejercicio y la utilidad de ellos en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Matemática han sido aspectos abordados por diversos especialistas, entre los
que sobresalen: Jungk (1981); Müller, (1987),
Ballester, Santana, Hernández, Cruz, Arango, García, et al. (1992); Ballester
& Jon, 2011. Dado el valor teórico-metodológico de esta categoría, en la
investigación, se abordarán algunos elementos, en las líneas siguientes.
Al decir de
Ballester et al. (1992), el concepto de ejercicio en la enseñanza de la
Matemática ha sido definido por varios especialistas, cuya mayoría, coincide en
definirlos como: “[…] una exigencia para la realización de acciones, solución
de situaciones, deducción de relaciones, cálculo, etcétera.” (p. 406). Este
autor plantea que el doctor Horst Müller define los ejercicios en la enseñanza
de la Matemática como una exigencia para actuar, que se caracteriza por poseer
tres elementos:
·
El objetivo de las acciones: reside en transformar una
situación inicial (lo dado o conocido) en una situación final (lo buscado o
desconocido).
·
El contenido de las acciones: puede estar dado por los elementos
de la materia matemática con que se relacionan (conceptos, proposiciones,
algoritmos) y por el tipo de acción (identificar, comparar, ordenar,
clasificar, fundamentar, controlar, etc.).
·
Las condiciones de las acciones: residen en las exigencias
que el ejercicio plantea, expresada por el grado de dificultad del ejercicio.
·
Esta postura ha sido generalizada en Cuba y se ha venido
utilizando hasta la actualidad; por lo que el autor del artículo se afilia a
ella. No obstante, considera pertinente contextualizar los elementos
estructurales de un ejercicio a las características de los ejercicios que
propone. A continuación se ilustra:
·
El objetivo de las acciones está dirigido a la comprensión de
problemas aritméticos.
·
El contenido de las acciones reside en las acciones
intelectuales que devienen en invariantes funcionales de la comprensión de
problemas aritméticos: identificar, inferir, valorar y contextualizar
información.
·
Las condiciones para las acciones residen en las operaciones
cognitivas, pertenecientes a los niveles de desempeño cognitivo que de la
comprensión de problemas aritméticos se asumen en la investigación.
La literatura
científica (Zillmer, 1981; Ballester et al., 1992;
Ballester & Jon, 2011) registra diversas clasificaciones de ejercicios en
la enseñanza de la Matemática. Ellas difieren en el criterio que se tiene para realizar
la taxonomía. Atendiendo al contenido matemático se clasifican en ejercicios
matemáticos y ejercicios no matemáticos o de aplicación. Tomando en
consideración el código de la formulación se subdividen en: ejercicios con
textos y ejercicios formales. Por su parte, basados en la intención didáctica
se tienen: ejercicios para la introducción (propedéuticos), ejercicios para la
fijación y ejercicios para la consolidación.
Atendiendo a las
clasificaciones anteriores, la taxonomía que se propone posee ejercicios matemáticos con textos, a los que el autor
prefiere denominarlos ejercicios de enunciado verbal, ya que desde una
concepción amplia el texto es todo lo que puede ser comprendido, sin distinción
del(los) código(s) empleados (Roméu, 2013). Además,
responden a las distintas intenciones didácticas que se explicitan en la
clasificación anterior. Consecuentemente, en el artículo se asumen todas las
clasificaciones referidas, por complementarse y ser coherentes con la nueva
tipología propuesta; además de su utilidad para la dirección del proceso de
enseñanza-aprendizaje.
Ballester & Jon
(2011) reconocen como funciones inherentes a los ejercicios en la enseñanza de
la Matemática a la: instructiva, educativa, desarrolladora y de control. La
nueva tipología de ejercicios que se propone posee potencialidades para el
cumplimiento de todas esas funciones. A saber:
Ø Instructiva:
posibilita la obtención y consolidación de los conocimientos aritméticos, así
como las técnicas de resolución de problemas y las dimensiones
Ø Educativa: la
información, de las distintas esferas sociales, que aparece en los textos
favorece la formación de valores y la comprensión de la significación de los
conocimientos aritméticos para la vida cotidiana; todo ello a partir de una
integración más coherente entre lo lógico-matemático y lo sociorreferencial.
Ø Desarrolladora:
tiene en cuenta el carácter sistémico de los conocimientos aritméticos y de las
operaciones cognitivas que intervienen en el proceso de comprensión de
problemas aritméticos verbales.
Ø De control: la
determinación de las operaciones cognitivas por niveles de desempeño y momentos
del desarrollo del escolar primario, permite una medición más exacta del
desempeño de los escolares en la comprensión de problemas aritméticos verbales.
La instrumentación
de estas funciones estará condicionada por la planificación que realice el
maestro del proceso de enseñanza-aprendizaje. No obstante, debe tener en cuenta
los siguientes criterios: a) identificación de la que tendrá un carácter rector
en la actividad docente, b) el modo de hacerlo de forma integrada, debido a su
carácter sistémico.
La tipología de
ejercicios que se propone para la comprensión de problemas aritméticos contiene
los siguientes tipos de ejercicios:
a) Sistema de
ejercicios y problemas propedéuticos.
Tiene como propósito
fundamental consolidar los conocimientos matemáticos que constituyen la base para
comprender problemas aritméticos verbales. En este subtipo se destacan los
ejercicios y problemas rutinarios, relacionados con los contenidos conceptuales
y procedimentales que intervienen de forma directa en el referido proceso. A
saber: a) las leyes, principios, definiciones propiedades matemáticas que
intervienen en la comprensión de un problema aritmético; b) los significados
prácticos de las operaciones de cálculo; c) las habilidades para el cálculo
oral y escrito; d) la identificación y formulación de problemas aritméticos
verbales y e) las técnicas de resolución de problemas aritméticos verbales.
b) Sistema de
ejercicios para la comprensión de problemas aritméticos verbales.
Tienen como
propósito fundamental la formación y desarrollo – en los escolares – de las
acciones intelectuales de la comprensión de problemas aritméticos verbales. De
allí que deben ajustarse a los niveles de desempeño cognitivo propuestos y
emplear diversos formatos de preguntas.
c) Sistema de
problemas.
Tiene el propósito
de desarrollar, al máximo, la comprensión de problemas aritméticos verbales. Por
ello, se conforma de problemas no rutinarios, en los que el escolar desplegará
una intensa actividad sin ayuda del maestro.
Para una adecuada
concreción, en la nueva tipología de ejercicios, de los elementos que conforman
a cada ejercicio se deben tener en cuenta la tipología de preguntas, propuestas
por Pérez & Hernández (2017) para la comprensión de problemas aritméticos
verbales. Como sigue:
1. Selección de
respuestas: también son conocidas como preguntas objetivas porque exigen
respuestas previsibles. El objetivo
esencial radica en que el tiempo de escribir se consuma en pensar. Existen
diferentes tipos:
1.1 Selección
múltiple simple: ofrece una respuesta correcta y las tres restantes son
distractores.
1.2 Selección
múltiple compleja: una de las respuestas es correcta y las tres restantes son
distractores. En su encabezado o base se mezclan varios contenidos en una misma
destreza, se emplean números romanos y la respuesta correcta implica más de un
número. Resulta muy útil cuando se precisa captar varias alternativas y no una
sola en el objeto de estudio, por ejemplo: cuando la solución del problema
requiere de la ejecución de varias operaciones cognitivas y/o aritméticas y
cuando es necesario discriminar las propiedades sustanciales y no sustanciales
de un término empleado en su redacción.
1.3 Apareamiento: se
relacionan elementos y no deben coincidir la cantidad de ellos en cada grupo
para evitar que algunos se adivinen, al cubrir los últimos espacios. Puede ser
muy útil para establecer conexiones entre: los datos numéricos y su
significado, las inferencias y sus premisas en el texto, las conclusiones y sus
argumentos, entre otras.
1.4 Verdadero o
falso: son de mucha utilidad, ya que pueden ser empleadas con diversos fines.
1.5 Ordenamiento:
resulta muy importante para captar las formas de organización en un texto,
donde pueden sistematizarse diferentes modos, según las propias estructuras del
texto. Posibilitan la captación de las formas en que se organiza el significado
del texto, y de esas relaciones pueden elaborarse preguntas para promover
inferencias: a) temporal: cronológico, b) espacial: (izquierda-derecha,
todo-partes, lejano-cercano), c) causal: establecimiento de relaciones causales
entre los elementos, d) funcional: la secuencia lógica de la funcionalidad de
los elementos, e) paralelismo por semejanzas, f) paralelismo por oposición.
Estos ejercicios
pueden concretarse con diferentes medios, entre ellos gráficos, esquemas,
cuadros sinópticos, etc.
En general hay que
distinguir que las preguntas cerradas son muy útiles para realizar operaciones
cognitivas como: a) identificar ideas, componentes estructurales del problema,
conceptos, procesos, situaciones, hechos, significados prácticos de las
operaciones de cálculo, entre otras, b) ejemplificar juicios, mensajes,
conceptos, c) relacionar personajes y mensajes del problema; así como el
contenido del problema con el contexto de actuación del escolar y d) verificar
juicios, soluciones y/o vías de solución.
2. Producción de
respuestas: También denominadas preguntas abiertas, pues exigen respuestas más
o menos desplegadas y no previsibles totalmente, donde el escolar pueda
seleccionar, integrar, añadir, crear. Se involucran con mayor énfasis la
subjetividad del escolar y del calificador. Estas pueden ser de: a)
completamiento, b) ensayo corto, c) ensayo largo, d) ensayo oral y e) producto
no escrito.
La pregunta abierta
de respuesta breve puede medir habilidades como identificar, abstraer, inferir
juicios, aplicar, sintetizar. Esta pregunta tiene como característica que
limita la extensión de las respuestas de los escolares. Una forma de
elaboración de este tipo se encuentra en la pregunta de completado.
La pregunta abierta
de respuesta desplegada puede medir operaciones como valorar, argumentar,
crear, transformar y modificar problemas. El escolar tiene más posibilidades de
expresarse libremente, el dominio de habilidades ortográficas y de redacción
pueden ser medidas con mayor profundidad.
Es importante tener
en cuenta que la construcción del ítem conlleva pensar/ escribir / re-escribir,
ordenar, clasificar y balancear las preguntas. En este proceso es importante
estimular la realización de ejercicios evaluativos individuales, por pares y
grupales y contrastar sus resultados. La interacción puede también ser usada
como contexto de la comprensión, teniendo en cuenta su naturaleza esencialmente
social.
Ejemplificación de
la nueva tipología de ejercicios
A continuación se
ilustra el empleo de la tipología de ejercicios en cuarto grado, por terminarse
en este grado el segundo momento el desarrollo del escolar primario, es decir,
la etapa intermedia en la evolución de su desarrollo psíquico. Además, en ese grado
concluye la enseñanza del modelo guía de aprendizaje para la resolución de
problemas, propuesto por Campistrous & Rizo (1996).
Ejercicios propedéuticos
1. Haz corresponder
los elementos del grupo A con los del B.
A B
__
Conozco las partes y debo hallar el todo.
__
Dado el todo y el número de partes iguales,
1. División
hallar el contenido de las partes.
__
Hallar múltiplos.
2. Adición
__ Dado el todo y la fracción, hallar la parte.
__ Dada
una parte y el exceso de ella sobre otra,
3.
Multiplicación
hallar la otra parte.
__ Dado el todo y una parte, hallar la otra parte.
4. Sustracción
__ Hallar la fracción, conocidos el todo y la parte.
__ Dada la cantidad de partes iguales y el
contenido de cada una, hallar el todo.
2. Lee detenidamente
el siguiente problema.
Una empresa pecuaria
se dedica solamente a la cría de vacas, toros, terneros y cerdos. Si conocemos
la cantidad de vacas, toros, cerdos y de animales que hay en total, ¿cómo
podemos hallar la cantidad de terneros existentes en esa empresa pecuaria?
2.1 Marca con una
equis (X) los datos del siguiente problema.
__ Cantidad de
animales que hay en la empresa pecuaria.
__ Cantidad de
terneros que hay en la empresa pecuaria.
__ Cantidad de
vacas, toros y cerdos que hay en la empresa pecuaria.
__ Cantidad de vacas
y cerdos que hay en la empresa pecuaria.
3. Lee nuevamente el
problema del ejercicio anterior y completa.
• Se conoce:
__________________________________________________.
• Debo averiguar:
______________________________________________.
• ¿Puede hallarse la
solución? _____ Argumenta _____________________.
• ¿Qué debo hacer?
__________________.
Ejercicios para la comprensión de problemas aritméticos
verbales
Lee cuidadosamente
el texto que se presenta y realiza las actividades que aparecen a continuación.
En un concurso de
Matemática participaron 118 escolares de una escuela primaria. Ellos
representan 13 niños menos que la mitad de todos los escolares de esa escuela.
1. Marca con una
cruz (X) la respuesta correcta. Pregunta
cerrada de selección múltiple simple. Operación: identificación de información
explícita.
El concurso
realizado fue de:
a) __ cálculo b) __ lectura c) __ Matemática d) __ Lengua Española
2. Enlaza los
elementos de la columna A con los de la B. Pregunta
cerrada de pareado. Operación: identificación de información explícita unido a
reformulación sencilla.
A
B
a) Cantidad de
escolares en que supera la mitad
de la matrícula de la
escuela al número de __
118
participantes en el concurso de
Matemática.
b) Cantidad de
escolares que participaron en el concurso __ 13
c) La mitad de la
matrícula de la escuela.
3. Representa: Pregunta abierta. Operación: traducción de
códigos.
a) Gráficamente la
expresión: “menos que la mitad”.
b) Matemáticamente
el término “mitad”.
4. Marca con una
cruz (X) la respuesta correcta. Pregunta
cerrada de selección múltiple simple. Operación: identificación de información
global.
La palabra que
caracteriza mejor a los 118 escolares que menciona el texto es:
a) __
estudiosos b) __
disciplinados c) __
laboriosos d)__honestos
5. Escribe verdadero
(V) o falso (F), según corresponda. Pregunta cerrada de verdadero o falso.
Operación: elaboración de inferencias.
a) __ La mitad de la
matrícula de la escuela supera los 150 escolares.
b) __ Más de la
mitad de la matrícula de la escuela participó en el concurso de
Matemática.
c) __ La mitad de la
matrícula de la escuela supera la cantidad de escolares participantes en el
concurso.
d) __ La cantidad de
escolares participantes en el concurso representa menos de la mitad de la
matrícula de la escuela.
6. ¿Cuál es la mitad
de la matrícula de la escuela? Pregunta
abierta. Operación: elaboración de inferencias.
7. Si la mitad de la
matrícula de la escuela excede en 48 a la cantidad de escolares que
participaron en una competencia de ajedrez, ¿cuántos escolares participaron en
la competencia de ajedrez? Pregunta
abierta. Operación: elaboración de inferencias.
8. Representa
gráficamente las relaciones matemáticas descriptas en el texto. Pregunta abierta. Operación: elaboración de
gráficos.
9. Halla cuántos
escolares tiene la escuela. Pregunta
abierta. Operación: elaboración de inferencias.
10. Elabora una
pregunta para el texto, la cual requiera del empleo – al menos – de una
operación de cálculo para responderla. Pregunta
abierta. Operación: transformación del problema.
Problemas (no rutinarios) aritméticos verbales
1. En una casa viven
cuatro personas. Cada una toma diariamente la misma cantidad de agua. Si una
vasija contiene 192 litros y alcanza para 6 días, ¿cuántos litros de agua bebe
diariamente cada una de esas personas?
2. Una cocinera
posee seis tipos de vegetales. Ella desea preparar ensaladas mixtas con dos
tipos de vegetales. ¿Cuántas ensaladas mixtas diferentes puede hacer?
3. Una obra
literaria consta de 5 tomos. Los dos primeros tienen 216 páginas cada uno. Los
otros tomos poseen cada uno 285 páginas. ¿Cuántas páginas posee la obra
literaria?
4. Se desea cercar
un organopónico de forma rectangular. El lado mayor
mide 36 metros de longitud y el menor lado, la mitad del lado mayor. ¿Cuántos
metros de malla se necesitan para cercar el organopónico?
5. Para pesar 9000
gramos de azúcar se tienen: 5 discos de 1 kilogramo, 3 discos de 4 kilogramos y
dos discos de 7 kilogramos. Busca las formas posibles de pesar el azúcar.
Conclusiones
Los ejercicios
constituyen medios esenciales para el tratamiento de la comprensión de
problemas aritméticos verbales porque posibilitan la instrumentación de su
multifuncionalidad, así como la ejercitación y la diferenciación en el proceso
de enseñanza-aprendizaje de ese contenido.
El tratamiento de la
comprensión de problemas aritméticos verbales requiere de un sistema de
ejercicios dirigidos a garantizar la base de conocimientos necesarios, la
formación y el desarrollo de las acciones intelectuales que intervienen en ese
proceso. Ello condiciona que la tipología que se propone incluya ejercicios y
problemas (rutinarios) propedéuticos, ejercicios para la comprensión de
problemas aritméticos verbales y problemas (no rutinarios) Los tipología de
ejercicios que se propone para el tratamiento de la comprensión de problemas
aritméticos verbales constituye una herramienta eficaz ya que tienen en cuenta
diversas intenciones didácticas que se persiguen en el proceso de
enseñanza-aprendizaje y los niveles de desempeño cognitivo, relativos a este
contenido; los que a su vez se basan en la caracterización del desarrollo
psíquico del escolar primario y las características de la textualidad
de los problemas aritméticos verbales.
La instrumentación
de la tipología de ejercicios que se propone debe basarse en el profundo
dominio, por el maestro, de los objetivos y contenidos de la asignatura; así
como de las características psicopedagógicas de los escolares.
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